山西自考会计专业概率论与数理统计复习资料3
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第三章 多维随机变量及其概率分布
内容介绍
本章讨论多维随机变量的问题，重点讨论二维随机变量及其概率分布。
考点分析
2007年4月 2007年7月 2007年10月
选择题 1题2分 2题2分 1题2分
填空题 2题4分 1题2分 2题4分
计算题 1题8分 1题8分 1题8分
综合题 1题4分
合计 4题14分 5题16分 4题14分
内容讲解
§3.1 多维随机变量的概念
1. 维随机变量的概念：
个随机变量 ， ，…， 构成的整体 ＝（ ， ，…， ）称为一个 维随机变量， 称为 的第 个分量（ ）.
2.二维随机变量分布函数的概念：
设（ ， ）为一个二维随机变量，记
， ， ，
称二元函数 为二维随机变量（ ， ）的联合分布函数，或称为（ ， ）的分布函数.
记函数 ＝
＝ ，
则称函数 和 为二维随机变量（ ， ）的两个分量 和 的边缘分布函数.
3. 二维随机变量分布函数的性质：
（1） 是变量 （或 ）的不减函数；
（2）0 1，对任意给定的 ， ；对任意给定的 ， ； ， ；
（3） 关于 和关于 均右连续，即 .
（4）对任意给定的 ，有
.
例题1. P62
【例3－1】判断二元函数 是不是某二维随机变量的分布函数。
【答疑编号：12030101】
解：我们取 ,
= 1-1-1+0=-1<0,不满足第4条性质，所以不是。
4.二维离散型随机变量
（1）定义：若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（ ），（ ＝1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量.
（2）分布律：
① 设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（ ），（ ＝1，2，…），（X，Y）的各个可能取值的概率为
，（ ＝1，2，…），
称 ，（ ＝1，2，…）为（X，Y）的分布律.
（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式
②（X，Y）分布律的性质
[1] ，（ ＝1，2，…）；
[2]
例题2. P62
【例3－2】设（X,Y）的分布律为
求a的值。
【答疑编号：12030102】
解：
（3）分布函数
由离散型二维随机变量（X，Y）分布律，可以求得其分布函数
.
例题3. P63
【例3－3】设（X,Y）的分布律为
求：（1）P{X=0}；
【答疑编号：12030103】
（2）P{Y≤2}；
【答疑编号：12030104】
（3）P{X<1,Y≤2}；
【答疑编号：12030105】
（4）P{X+Y=2}
【答疑编号：12030106】
（1）{X=0}=P{X=0,Y=1}∪P{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3}
（2）
{Y=1}={X=0，Y=1}∪{X=1，Y=1}
{Y=2}={X=0，Y=2}∪{X=1，Y=2}，
（3）{X＜1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{ X=0,Y=2},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容，所以
P{X＜1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+ P{X=0,Y=2}=0.1+0.1=0.2
（4）{X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1},类似可得
P{X+Y=2}=P｛X=0,Y=2｝+P{X=1,Y=1}=0.1+0.25=0.35
例题4. P64
【例3－4】现有1，2，3三个整数，X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数，Y表示从1至X中随机抽取的一个整数，试求（X,Y）的分布律。
【答疑编号：12030107】
解：
P{X=1，Y=1}
=P{X=1}•P{Y=1|X=1}
= ，
，
，
所以{X，Y}的分布律为：
（4）边缘分布律：
① 定义：对于离散型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的分布律称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘分布律，记为 （或
② 求法：它们可由（X,Y）的分布律求出，
， .
③ 性质：
例题5. P64
【例3－5】求例3-4中（X,Y）关于X和Y的边缘分布律。
【答疑编号：12030108】
解：X与Y的可能值均为1，2，3.
（X，Y）关于X的边缘分布律为：
（X，Y）关于Y的边缘分布律为：
可以将（X，Y）的分布律与边缘分布律写在同一张表上：
值得注意的是：对于二维离散型随机变量（X，Y），虽然它的联合分布可以确定它的两个边缘分布，但在一般情况下，由（X，Y）的两个边缘分布律是不能确定（X，Y）的分布律的。
例题6. P65
【例3-6】设盒中有2个红球3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X，Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出（X，Y）的分布律与边缘分布律。
【答疑编号：12030109】
解：（1）有放回摸球情况：
由于事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立（i，j=0，1），所以
P{X=0，Y=0}=P{X=0}•P{Y=0}=
P{X=0，Y=1}=P{X=0}•P{Y=1}=
P{X=1，Y=0}=P{X=1}•P{Y=0}=
P{X=1，Y=1}=P{X=1}•P{Y=1}=
则（X，Y）的分布律与边缘分布律为
（2）不放回摸球情况：
类似地有
P{X=0，Y=1}=
P{X=1，Y=0}=
P{X=1，Y=1}=
则（X，Y）的分布律与边缘分布律为
5.二维连续型随机变量的概率密度
（1）设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y），若存在非负可积函数 ，使得对任意实数x，y，有 ， 则称（X，Y）为二维连续型随机变量；并称 为（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数.
（2）概率密度 的性质：
① 非负；
② ；
③ 若 在 处连续，则有
；
④ .
例题7. P67
【例3－7】设（X，Y）的概率密度为 求（X，Y）的分布函数F（x,y）.
【答疑编号：12030110】
解：
例题8. P67
【例3－8】设二维随机变量（X，Y）的分布函数为
F（x,y）=a（b+arctanx）（c+arctan2y），-∞<x<+∞，-∞<y<+∞.
求：（1）常数a,b,c；
【答疑编号：12030111】
（2）（X，Y）的概率密度。
【答疑编号：12030112】
解：
（1）
（2）
6.两种二维连续型随机变量分布
（1）均匀分布
①定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S＞0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为
则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作（X,Y）～UD。
②两种特殊区域的情况：
ⅰ.D为矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d，此时
ⅱ.D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为中心，R为半径的圆形区域上服从均匀分布，则（X,Y）概率密度为
例题9：P68
【例3－9】设（X，Y）服从下列区域D上的均匀分布，其中D：x≥y,0≤x≤1,y≥0.求P{X+Y≤1}。
【答疑编号：12030201】
解：
解：根据上图，D的面积 ，所以（X，Y）的概率密度为
事件{X+Y≤1}意味着随机点（X，Y）落在区域 上，则
（2）正态分布
①定义：若二维随机变量（X，Y）概率密度为
[1]其中 都是常数，且 则称（X,Y）服从二维正态分布，记为
[2]三维空间的曲面。
7.二维随机变量的边缘分布
（1）定义：对于连续型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为
（2）求法：它们可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出，
例题10：P70
【例3－10】设（X,Y）在矩形域D上服从均匀分布，其中D： 求（X,Y）的边缘概率密度
【答疑编号：12030202】
解：
例题11：P70 例3－11
【例3－11】设二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，且 求（X,Y）关于X,Y的边缘概率密度。
【答疑编号：12030203】
解：
解：（X,Y）的概率密度为
由于
于是
令 则有
因为
因而（X,Y）关于X的边缘概率密度为
即 X～N（0,1）,
类似可得（X,Y）关于Y的边缘概率密度为
即 Y～N（0,1）
例题12. P71
【例3－13】设（X,Y）的概率密度为
求
【答疑编号：12030204】
解：
§3.2 随机变量的独立性
1.两个随机变量的独立性
用两个随机事件的独立性导出两个随机变量的独立性。
（1）定义：设F（x,y），FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（x,y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数x，y，有
F（x,y）= FX（x）FY（y），
则称X与Y相互独立.
（2）等价关系：P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}.
例题13：P73
【例3－14】续3.1节例3-7证明X与Y相互独立。
【答疑编号：12030205】
证明：
2.二维离散型随机变量的独立性的充要条件
设（X,Y）为二维离散型随机变量，其分布律为
其边缘分布律为
X与Y相互独立的充分必要条件是，对一切i，j有
反之，只要有一对（i，j）使上式不成立，X与Y就不相互独立.
例题14：P74
【例3-15】判断3.1节例3-6中X与Y是否相互独立。
【答疑编号：12030206】
解（1）有放回摸球情况：因为
所以X与Y相互独立。
（2）不放回摸球情况：因为
P{X=0，Y=0}≠P{X=0}•P{Y=0}，
所以X与Y不相互独立。
例题15：P75
【例3－16】设（X,Y）的分布律为
且X与Y相互独立，求常数a,b之值。
【答疑编号：12030207】
解：
3.二维连续型随机变量相互独立的充要条件
设（X,Y）为二维离散型随机变量，其概率密度及关于X和Y的边缘概率密度分别为
f（x,y）， 和 则X与Y相互独立的充分必要条件是等式
几乎处处成立.
例题16：P75（相互独立）
【例3－17】证明3.1节例3-8中的X与Y相互独立。
【答疑编号：12030208】
例题17：P76 （不相互独立）
【例3－19】设（X,Y）在以原点为圆心、半径为1的圆域上服从均匀分布，问X与Y是否相互独立？
【答疑编号：12030209】
解：
例题18：P77（边缘密度确定联合密度）
【例3-20】设X与Y为相互独立的随机变量，X在[-1，1]上服从均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，求：（X,Y）的概率密度。
【答疑编号：12030210】
解 由已知条件得X，Y的概率密度分别为
因为X与Y相互独立，所以（X,Y）的概率密度为
4.n维随机变量
（1）n维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数和概率密度
设n维随机变量 其联合分布函数为
若其概率密度为 则
其关于分量 的边缘分布函数为
其关于分量 的边缘密度函数为
（2）n维随机变量的相互独立
①设n维随机变量 若对一切 有
即
则称 是相互独立的.
②性质
ⅰ）若 是相互独立的，则其中任意 个随机变量也是相互独立的；
ⅱ）若 是相互独立的，则它们各自的函数 也是相互独立的.
例题19：P78
【例3－23】设随机变量X与Y相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布。设1＜a＜3,若事件 求常数a的值。
【答疑编号：12030211】
解：
§3.3 两个随机变量的函数的分布
1.两个离散型随机变量的函数的分布
例1：P80
【例3-24】设（X,Y）的分布律为
求Z=X+Y的分布律。
【答疑编号：12030301】
解：Z=X+Y的可能取值为0，1，2，3，
因为事件｛Z=0｝=｛X=0，Y=0｝，
所以
因为事件{Z=1}={X=0，Y=1}∪{X=1，Y=0}，事件{X=0，Y=1}与{X=1，Y=0}互不相容，所以
事件P{Z=2}={X=0，Y=2}∪{X=1，Y=1}，事件{X=0，Y=2}与{X=1，Y=1}互不相容，所以
事件｛Z=3｝=｛X=1，Y=2｝，
所以
从而得出Z的分布律为
例2.P80
【例3-25】设X,Y是相互独立的随机变量，且 证明Z=X+Y～
【答疑编号：12030302】
例题3：P81
【例3-26】 接例题3-24，求：
（1）Z=XY的分布律；
【答疑编号：12030303】
（2）P{X=Y}.
【答疑编号：12030304】
解（1）Z的可能值为0，1，2.
由于
{Z=0}={X=0,Y=0}∪{X=1,Y=0}∪{X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2},
所以
同理
则Z=XY的分布律为
（2）P{X=Y}=P{X-Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}
3.3.2 两个独立连续型随机变量之和的概率分布
例4：P81
【例3-27】设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在[0,1]服从平均分布，Y的概率密度为
求（1）（X，Y）的概率密度；
【答疑编号：12030305】
（2）P（X+Y≤1）；
【答疑编号：12030306】
（3）P{X+Y≤3}
【答疑编号：12030307】
解：（1）∵X，Y独立
（2）
（3）
求Z=X+Y的概率密度
设（X，Y）为二维连续型随机变量，其密度函数为f（x，y），关于X，Y的边缘概率
分别为fx（x），fY（y），又设X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度：
这就是二维连续型独立随机变量和的卷积公式.
注意：教材82页3.3.1式“FZ（z）”改为“fZ（z）”
例5：P82
【例3-28】设X，Y是相互独立的随机变量，都服从标准正态分布且N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。
【答疑编号：12030308】
解：X,Y的概率密度分别为
则Z的概率密度
令
注意：第二个等式用到
即Z服从N（0，2）分布.
一般地,设X,Y相互独立,且 通过类似计算可得Z=X+Y仍服从正态分布,且有
例6：P83
【例3-29】设X～N（3，4），Y～N（1，1），Z～N（0，1），X，Y,Z相互独立，求X+2Y+3Z的分布.
【答疑编号：12030309】
第三章小结
一、内容
二、试题选讲
1.（405）设二维随机变量（X，Y）的分布律为
则P{X+Y=0}=（ ）。
A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.7
【答疑编号：12030310】
答案：C
2.（406）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
则常数c=（ ）。
A. B. C.2 D.4
【答疑编号：12030311】
答案：A
解析：
3.（417）设（X，Y）～N（0，0，1，1，0），则（X，Y）关于Ｘ的边缘概率密度 ＝_____。
【答疑编号：12030312】
答案：
4.（1020）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
则
【答疑编号：12030313】
答案：
解析：
5.（1026）设二维随机变量（X，Y）的分布律为
试问：X与Y是否相互独立？为什么？
【答疑编号：12030314】
答案：X与Y相互独立
分析：
Pij=Pi•P•j，所以X与Y相互独立
6.（426）设随机变量X与Y相互独立，且X、Y的分布律分别为
试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；
【答疑编号：12030315】
（2）随机变量Z=XY的分布律.
【答疑编号：12030316】
答案：Z=X+Y的可能取值为0，1，2
Z=XY的可能取值为0，1，2