山西自考会计专业概率论与数理统计复习资料2
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第二章 随机变量及其概率分布
内容简介
1.本章引入随机变量及其分布函数概念,讨论了离散型和连续型两种随机变量,介绍了几种常用的随机变量。
2.本章重点内容包括:离散型随机变量及其分布律,连续型随机变量及其概率密度,二项分布与正态分布。
考点分析
2007年4月 2007年7月 2007年10月
选择题 2题4分 1题2分 2题4分
填空题 2题4分 2题4分 2题4分
计算题 1题8分
综合题 1题4分 1题12分
合计 5题12分 4题14分 5题20分
内容讲解
§2.1 离散型随机变量
1.随机变量的概念
(1)引入随机变量的理由:① “常量”到“变量”;② 全面研究随机试验的需要。
(2)如何引入:一类:随机试验的结果用数量表示的,直接数量化。如:掷骰子,设出现的点数为随机变量X,则X=1,2,3,4,5,6分别表示事件“出现一点”,“出现二点”,…,“出现六点”。另一类:试验结果不是用数量表示的,如:掷硬币,双方比赛的结果等,可以人为赋值,如掷硬币,设结果为随机变量Y,“出现正面”用“Y=1”表示,“出现反面”用“Y=0”表示。如果双方比赛结果使用记分法,可以用分数表示,“Z=3”表示“胜”,“Z=1”表示“平”,“Z=0”表示“负”,等等。
(3)定义:设E是随机试验,样本空间为Ω,如果对于每一个样本点ω∈Ω,有一个实数X(ω)与之对应,则称X=X(ω)为随机变量,记做X, Y, Z,…。
(4)解释:① 随机变量不是普通变量,它的取值不是任意的,它是以一定的可能性(概率)取某一个值的,即具有随机性,因此称为“随机变量”;
② 在一次随机试验中,可以根据不同的需要来定义不同的随机变量。
③ 引入随机变量后,可用随机变量来描述事件,如掷骰子,设出现的点数为随机变量X,则“出现4点”可表示为{X=4},“不少于4点”可表示为{X≥4},等等。
所以,其概率可表示为P{X=4}=1/6, P{X≥4}=1/2。
2.离散型随机变量及其分布律
(1)离散型随机变量定义:若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值,则称X为离散型随机变量。如掷骰子出现的点数,医院门诊一天接待的患者数,某停车场内停放的车辆数,等等,都是离散型随机变量。
(2)离散型随机变量的分布律:设X为离散型随机变量,可能取值为x1,x2,…,xk,…,且P{X=xk }=pk,k=1,2,…,则称{ pk }为X的分布律(或分布列,概率分布)。
分布律也可以用表格形式表示:
(3)分布律{pk}的性质:① pk≥0,k=1,2,…;
② .
反之,若一个数列{pk}具有以上两条性质,则它可以作为某随机变量的分布律。
(4)用途:可用分布律求任意事件的概率
.
例题1.P30
【例2-1】设离散型随机变量X的分布律为:
求常数c。
【答疑编号:12020101】
解:由分布律性的性质知
1=0.2+c+0.5
解得c=0.3。
例题2.P31
【例2-4】已知一批零件共10个,其中有3个不合格,现任取一件使用,若取到不合格零件,则丢弃,再重新抽取一个,如此下去,试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律。
【答疑编号:12020102】
解:X的取值为0,1,2,3。
设Ai(i=1,2,3,4)表示“第i次取出的零件是不合格的”,
利用概率乘法公式可计算得
P{X=1}=
P{X=2}=
P{X=3}=
故X的分布律为
例题3.P31
【例2-5】对某一目标连续进行射击,直到击中目标为止。如果每次射击的命中率为p,求射击次数X的分布律。
【答疑编号:12020103】
解:X的取值为1,2,…。设Ai(i=1,2,…)表示“第i次射击未中”,事件{X=k}表示“前k-1次射击未中,第k次命中“,则 ,而每次射击命中与否又是相互独立的,即A1,A2,…Ak相互独立。
X的分布律为
=(1-p)k-1p,k=1,2,…。
3.三种常用的离散型随机变量的分布
(1)0-1分布(两点分布)
定义:若随机变量X只取两个可能值0,1,且P{X=1}=p,P{X=0}=q, 其中0
举例:掷一枚硬币出现正面,向靶子射一发子弹等。
(2)二项分布
定义:若随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,而X的分布律为
,k=0,1,2,…,n
其中0 解释:n=1时,二项分布即为0-1分布,所以,二项分布是服从0-1分布的随机试验进行n次的情况。
例题4.P32
【例2-6】某特效药的临床有效率为0.95。现有10人服用,问至少有8人治愈的概率是多少?
【答疑编号:12020104】
解:设X为10人中被治愈的人数,则X~B(10,0.95)
而所求概率为
P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}
=0.9885
例题5.P32
【例2-7】设X~B(2,p),Y~B(3,p)。设 ,试求P{Y≥1}。
【答疑编号:12020105】
解: ,知 ,
即 ,由此得
再由Y~B(3, )可得
P{Y≥1}=1-P{Y=0} 。
泊松定理:设λ>0是常数,n是任意正整数,且 ,则对于任意取定的非负整数k,有 。
泊松定理的应用:当n很大,p很小时,二项分布可以用泊松逼近来近似计算。
在实际计算中,当n≥20,p≤0.05时计算效果颇佳。
例题6.P33
【例2-8】一个工厂生产的产品中废品率为0.005,任取1000件,计算:
(1)其中至少有两件是废品的概率;
【答疑编号:12020106】
(2)其中不超过5件废品的概率
【答疑编号:12020107】
解:设X表示任取的1000件产品中的废品数,则X~B(1000,0.005)。利用泊松定理中的 公式近似计算,λ=1000×0.005=5。
(1)P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}
。
(2) P{X≤5}
=0.6160。
最后一步为查附表2而得。此处还用到 。
(3)泊松分布
定义:设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,…,而X的分布律为
,k=0,1,2,…,
其中λ>0,则称X服从参数为λ的泊松分布,记做X ~ P(λ).
例题7.P34
【例2-9】设随机变量X服从参数为5的泊松分布,求
(1)P{X=10};
【答疑编号:12020108】
(2)P{X≤10}。
【答疑编号:12020109】
解:(1)查附表2中λ这一栏的数据,可得
P{X=10}=P{X≥10}-P{X≥11}
=0.018133
(2)P{X≤10}=1-P{X≥11}
=0.986305
例题8.P34
【例2-10】设X服从泊松分布,且已知P{X=1}=P{X=2},求P{X=4}
【答疑编号:12020110】
解 设X服从参数为λ的泊松分布,则
,
由已知得
解得λ=2,则
§ 2.2 随机变量的分布函数
1.分布函数的概念
引入:① 从数学发展的角度,引入函数概念是必然的;
② 此函数一定要与概率相联系。对于离散型随机变量X,事件可表示为{X≤b},
{X>b}, {a
定义:设X为随机变量,称函数
F(x)=P(X≤x),x∈(-∞,+∞)
为X的分布函数。
离散型随机变量X的分布函数为
.
例题1.P36
【例2-11】设离散型随机变量X的分布律为
求X的分布函数。
【答疑编号:12020111】
解:
当x<-1时,F(x)=P{X≤x}=0;
当-1≤x<0时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}=0.2;
当0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}= P{X=-1}+ P{X=0}=0.2+0.1=0.3;
当1≤x<2时,F(x)=P{X≤x}= P{X=-1}+ P{X=0}+ P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6
当x≥2时,F(x)=P{X≤x}= P{X=-1}+ P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1
则X的分布函数F(x)为
F(x)的图形如下:
由F(x)的图形可知,F(x)是分段函数,y= F(x)的图形是阶梯形曲线,
在X的可能取值-1,0,1,2处为F(x)的跳跃型间断点。
2.分布函数的性质
(1)0≤F(x)≤1。
(2)F(x)是不减函数,即对于任意的x1
(4)F(x)右连续,即 。
例题2.P37
【例2-12】设随机变量X的分布函数为
其中λ>0,求常数a、b的值。
【答疑编号:12020112】
解: =a+0=a,
而F(+∞)=1,∴a=1
=a+b=0
由此得b=-a=-1
3.用分布函数表示事件的概率:设随机变量X的分布函数为F(x), 则
(1)P{X≤b}=F(b);
(2)P{a
例题3.P37
【例2-13】设随机变量X的分布函数为
求(1) ;
【答疑编号:12020113】
(2) ;
【答疑编号:12020114】
(3) 。
【答疑编号:12020115】
解:(1) ;
(2) ;
(3) 。
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
1.连续型随机变量及其概率密度
(1)定义:设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负函数f(x),使得对任意实数x,有
,
则称X为连续型随机变量,并称f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度(或密度函数)。
解释:连续型随机变量的“连续”指的是其密度函数在某区间或整个实轴上是连续函数。
(2)概率密度的性质:① f(x)≥0;
② ;
③ ;
④ 设x为f(x)的连续点,则存在 ,且 .
(3)概率密度的直观解释
例题1.P40
【例2-15】设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数F(x)。
【答疑编号:12020201】
解:当x<0时,
当0≤x<1时,
当1≤x<2时,
当x≥2时,
即X的分布函数为
例题2.P41
【例2-16】设连续型随机变量X的分布函数为
求(1)X的概率密度f(x);
【答疑编号:12020202】
(2)X落在区间(0.3,0.7)的概率。
【答疑编号:12020203】
解:(1)
(2)有两种解法:
P{0.3
P{0.3
【例2-17】设某种型号电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度
现有一大批此种元件(设各元件工作相互独立),问
(1)任取1个,其寿命大于1500小时的概率是多少?
【答疑编号:12020204】
(2)任取4个,4个元件中恰有2个元件的寿命大于1500小时的概率是多少?
【答疑编号:12020205】
(3)任取4个,4个元件中至少有1个元件的寿命大于1500小时的概率是多少?
【答疑编号:12020206】
解:
(1)设随机变量X表示元件的寿命
P{X>1500}
(2)各元件工作相互独立,可看做4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否大于1500小时,令Y表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数,则Y~B(4, ),所求概率为P{Y=2} 。
(3)所求概率为P{Y≥1}=1-P{Y=0} 。
2.三种常用连续型随机变量的分布
Ⅰ.均匀分布
(1)定义:若随机变量X的概率密度为 ,
则称X服从区间[a,b]上的均匀分布,记做X~U(a,b)。
(2)分布函数为
分布函数图象如下图:
(3)实际应用:查表时,认为两个修正值之间的数值服从均匀分布,在一段时间内,公共汽车达到的时间认为是服从均匀分布,等等。
例题4.P43
【例2-18】公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的,求乘客候车时间在1~3分钟内的概率。
【答疑编号:12020207】
解:设X表示乘客的候车时间,则X~U(0,5),其概率密度为
所求概率为
P{1≤x≤3}
Ⅱ.指数分布
(1)定义:若随机变量X的概率密度为 ,
其中λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数分布,记做X~E(λ).
(2)指数分布的分布函数为
,
(3)实际应用:电子元器件的使用寿命,动物的寿命,电话的通话时间,接受服务的时间等等,都可以假定服从指数分布。
例题5.P43
【例2-19】设X服从参数为λ的指数分布,证明对任意的s>0,t>0,有
.
此性质称为指数分布的无记忆性。
证明:对于任意的x>0, .
又因为 ,所以 ,
则
Ⅲ.正态分布
(1)定义:若随机变量X的概率密度为 ,-∞
(2)概率密度函数的性质:
①曲线关于直线x=μ对称,则对于任意h>0,有P(μ-h
③当σ给定,μ1<μ2时,对应的密度函数的图象可沿x轴互相平移得到.
④当μ给定,σ1<σ2时,对应的密度函数的图象如图下图所示,σ越小,图象越尖锐,σ越大,图象越平缓.
(3)分布函数为 .
(4)标准正态分布:当μ=0,σ=1时的正态分布N(0,1),称为标准正态分布,其概率密度和分布函数分别记做 和Φ(x),即
, , ,
(5)标准正态分布的分布函数的性质
①Φ(-x)=1-Φ(x);
② .
(6)正态分布与标准正态分布的关系
设X~N(μ,σ2),分布函数为F(x),标准正态分布的分布函数为Φ(x),则
① ;
做代换:
由于U~N(0,1)
∴
② ;
③ .
例题6.P47
【例2-20】设X~N(0,1)证明对于任意的h>0,有
。
【答疑编号:12020208】
证明
。
例题7.P47
【例2-22】设X~N(1.5,4),求 。
【答疑编号:12020209】
=0.8413。
Ⅳ.上侧α分位数
(1)定义:设X~N(0,1),若uα满足条件P{X>uα}=α,0<α<1,则称点uα为标准正态分布的上侧α分位数。
(2)求法:反查标准正态分布表。
例题8.查表求u0.1.
【答疑编号:12020210】
解:
P{X>u0.1}=0.1
∴1-P{X≤u0.1}=0.1
P{X≤u0.1}=0.90
查表:
0.8997→1.28
0.9015→1.29
所以
§2.4 随机变量函数的概率分布
1.随机变量函数的概念:设 是已知连续函数, 为随机变量,则函数 也是一个随机变量,称之为随机变量的函数.
2.离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量的分布律为
则在随机变量 的取值 , ,不同的情况下,其分布律为
但是,若 有相同的情况,则需要合并为一项.
例题1. P51 例2-25
【例2-25】设随机变量X的分布律为
求 的分布律。
【答疑编号:12020301】
解:因为
所以Y只能取值-1,0,1,而取这些值的概率为
故Y的分布律为
有时我们只求Y=g(X)在某一点y处取值的概率,有
,
即把满足 的 所对应的概率相加即可。
例题2. P52 例2-26
【例2-26】X~B(3,0.4)令 ,求P{Y=1}。
【答疑编号:12020302】
解:
= P{{X=1}∪P{X=2}}
= P{X=1}∪P{X=2}- P{X=1}∩P{X=2}
=
3.连续型随机变量函数的概率密度
定理:设 为连续型随机变量,其密度函数为 .设 是严格单调的可导函数,其值域为 ,且 .记 的反函数,则 的概率密度为
.
证明:略
例题3. P53 例2-27
【例2-27】设连续型随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=aX+b其中a,b为常数,a≠0。求Y的概率密度。
【答疑编号:12020303】
解:y= ax+b ∵-∞<x<+∞
∴-∞<y<+∞
即α=-∞,β=+∞
x=h(y)=
例题4. P53 例2-28
【例2-28】 ,求:
(1) 的概率密度。
【答疑编号:12020304】
(2)Y=aX+b的概率密度。
【答疑编号:12020305】
解:利用例2-27所得的结论,fx(x)=
(1) ,则
(2) •
即 .
例2-28说明两个重要结论:当 时, ,且随机变量 称为X的标准化。另外,正态随机变量的线性变换 仍是正态随机变量,即aX+b~ ,这两个结论十分有用,必须记住。
例题5. P53 例2-29
【例2-29】设 ,令Y=tanX,求Y的概率密度fY(y)。
【答疑编号:12020306】
解:y=g(x)=tanx,值域为(-∞,+∞),反函数x=h(x)=arctany, 记X的概率密度为fx(x),则
这一概率分布称为柯西(Cauchy)分布。
例题6. P54 例2-32
【例2-32】设X的概率密度为 求 的概率密度 。特别地,当X~N(0,1)时,求 的概率密度。
【答疑编号:12020307】
解:当y≤0时,Y的分布函数
;
当y>0时,
其中 的分布函数,则
(2.4.2)
特别地,X~N(0,1),则
,
由(2.4.2)式得,当y>0时,
而当 ,即
注意:设X~N(0,1),则 的分布称为 分布,其自由度为1,记为Y .本书后面将会讲到一般的 分布。
第二章 小 结
一、内容分布律
二、试题选讲
1.(1016)抛一枚硬币5次,记正面向上的次数为 ,则 =____________.
【答疑编号:12020308】
答案:
2.(0404)设随机变量 的概率密度为 则 =( ).
A.
B.
C.
D. 1
【答疑编号:12020309】
答案:A
3.(1004)设随机变量 的概率密度为 则常数 等于( ).
A. -1
B.
C.
D. 1
【答疑编号:12020310】
答案:D
4.(1003) 设随机变量 在区间[2,4]上服从均匀分布,则 =( ).
A. B. C. D.
【答疑编号:12020311】
答案:C
5.(1015)设随机变量 ,已知标准正态分布数值 ,为使 ,则常数 ___________.
【答疑编号:12020312】
答案:3
6.(0704)设每次试验成功的概率为 ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为( ).
A.
B.
C.
D.
【答疑编号:12020313】
答案:A
7.(0715)已知随机变量 ,且 ,则 ___________.
【答疑编号:12020314】
答案:5
8.(0716)设随机变量 的分布函数为 ,则常数 ____________.
【答疑编号:12020315】
答案:1
9.(0727)设随机变量 服从参数为3的指数分布,试求:
(1) 的概率密度;
【答疑编号:12020316】
(2) .
【答疑编号:12020317】
解:
10.(1028)司机通过某高速路收费站等候的时间 (单位:分钟)服从参数为 的指数分布,
(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率 ;
【答疑编号:12020318】
(2)若该司机一个月要经过此收费站两次,用 表示等候时间超过10分钟的次数,写出 的分布律,并求 .
【答疑编号:12020319】
解: